儀器誤差的微分法和儀器誤差的幾何法與逐步投影法

儀器誤差的分析與計算

儀器誤差的來源多種多樣，其性質也各不相同。為了確定儀器的總精度，需要掌握各類誤差的來源及其規律，進而計算誤差的大小。儀器誤差的分析一般按以下三個步驟進行：尋找儀器誤差源；計算分析各個誤差對儀器精度的影響；各項誤差的合成。其中，*步可以根據上節給出的儀器誤差來源逐項分析尋找，第二步的方法在本節講述，第二步的方法將在下一節給出。

—、微分法

儀器的輸出和各元件特性參數、結構參數之間的關系如果能用數學關系表達，那么這種關系式就稱為作用方程式或儀器方程式。若此時誤差源為上述元件特性參數或結構參數則可以對作用方程式做全微分，進行誤差分析與計算。

例3-2自準直儀制造誤差分析。

例3-1給出了自準直儀原理誤差的分析，這是基于各元件參數理想情況。如果存在制造誤差，哪些零件的誤差會影響測角精度呢？由式（3-9)有

這就是自準直儀的作用方程式。對式（3-12)進行微分，有

式（3-13)兩邊同除以α，得到相對誤差關系式

式（3-14)右邊*項是分劃板刻線的相對誤差，第二項是物鏡焦距的相對誤差。可見測角誤差與這兩個元件的制造誤差有關；同時這兩項誤差的貢獻符號相反，可考慮在制定零件公差時，一個給正偏差一個給負偏差，使它們對儀器測角誤差的影響起到某種程度的抵消作用。

微分法的優點是利用微分運算解決誤差計算問題，簡單快速。其局限性是無法分析不能列入儀器作用方程式的誤差源，如度盤安裝偏心等。此類誤差通常產生于裝配調整環節，與儀器作用方程式無關。

二、幾何法

利用儀器輸出誤差與局部誤差的幾何關系，同樣可以進行儀器精度分析。具體步驟是，畫出儀器工作過程中某一瞬間的作用原理圖，依據其中的幾何關系寫出系統輸出與誤差源的關系，將誤差代入即可得到儀器誤差。例3-1舉出的自準直儀的原理誤差即是用幾何法求得的。下面再舉一個例子。

例3-3度盤安裝偏心所引起的讀數誤差。

如圖3-3所示，O1是度盤的幾何中心，O是主軸的回轉中心，度盤的安裝偏心量為e。當主軸的回轉角度為α時，度盤幾何中心從O1移至O2處，這時讀數頭的實際讀數為度盤從A點到B點弧上刻度對應的角度α+△α，但實際轉角為α，,因此讀數誤差為△α。為了得到該誤差與系統參數之間的關系，根據正弦定理有 式中R為刻度盤刻劃半徑，e為偏心量。利用小角度近似有

而|Sinα|≤1，故度盤安裝偏心引起的zui大讀數誤差為

與微分法相比，幾何法非常直觀，適用于求解無法列入作用方程式的誤差源引起的儀器輸出誤差。不過，幾何法在分析計算復雜機構運行誤差時較為困難。

三、逐步投影法

逐步投影法是幾何法的拓展，適用于機構誤差分析。其基本原理是將主動件的原始誤差先投影到其相關的中間構件上，再從該中間構件投影到下一個與其相關的中間構件上，zui終投影到機構從動件上，依次求出機構位置誤差。

例3-4平行四邊形機構誤差分析。

圖3-4所示為zui基本的平行四邊形機構，該機構可用于角度及角速度的等值傳遞。當與AB與CD桿長相等時，AD發生嚴格的平移。由于制造或裝配誤差造成AB≠CD，桿長誤差△α=|a1-a|，因此可用逐步投影法求出從動件CD轉角誤差△φ=φ1-φ。

由圖3-4可知，△a在AD上的逐步投影值△AD =△acos(90°-φ) =△asinφ。而從動件CD轉動的作用臂是C點到AD的垂直距離CE= CDcosφ1= a1cosφ1≈acosφ。 則從動桿CD的轉角誤差△φ=△AD/CE，滿足

四、其他方法

誤差分析還有其他方法，如作用線與瞬時臂法、轉換機構法、矢量法、經驗估算法、實驗測試法等，具體方法參見誤差分析書籍，以下僅給出簡要介紹。

某些原始誤差對儀器誤差的影響不能直接求出，例如傳動系統的齒輪的周節誤差、齒形誤差等，這時需要分析原始誤差作用的中間過程，研究機構傳遞運動，結合力和運動傳遞的作用線與瞬時臂，求得zui終誤差。這一方法比逐步投影法更深刻地描述誤差的傳遞，在求解空間機構誤差問題時，具有突出的*之處。

對于機構誤差分析還可以使用轉換機構法，即將產生誤差的構件看成主動件，轉換構件間的連接方式，并將其他構件看成理想件，給出等效機構，即轉換機構。轉換機構的形式由誤差性質決定，如逐步投影法的例3-4中研究桿長誤差的影響，可將鉸鏈替換成直線運動副，如連桿滑塊機構。之后按照轉換機構的速度方向和位移量，畫出小位移圖，根據幾何關系求的輸出誤差。

光學元件引起光束出射方向變化的精度分析一般比較復雜，如分析反射鏡和棱鏡的轉像作用時，宜使用矢量法。該方法的主要思路是將光束和光學元件的特征方向用矢量表示，之后利用矢量形式的折射、反射定律以及棱鏡的作用矩陣進行矢量運算，分析光束出射方向的誤差。

經驗估算法和實驗測試法也是誤差分析中常用的方法。儀器中有許多誤差是無法分析計算的，但在設計階段需要知道其變化范圍，如果這樣的誤差有據可查，或有前人做過可信的測試，則可以直接引用。例如估讀誤差一般取分度值的1/10，這是因為儀器的刻度間距一 般為1mm左右，人眼的分辨線值大約為0.075mm。對于一些不能分析計算而又難以估計的誤差，通常采用實驗測試或仿真實驗對其進行測試。